Approximation d'un taux moyen

Partie A   Un exemple

La population d'une ville A est en forte croissance démographique. Elle a augmenté en 2020 de `40\%` puis de nouveau de `40\%` en 2021.

La population de la ville B a très peu évolué. Les statistiques montrent en effet qu'elle a augmenté de \(0{,}8\,\%\) par an en 2020 ainsi qu'en 2021.

1. Calculer pour chaque ville, le taux d'évolution global de la population pendant les années 2020 et 2021.

2. Est-il possible d'écrire \(2\times 40~\%\simeq 80~\%\) ? Justifier.

3. a. Calculer le coefficient multiplicateur associé à une hausse de \(1{,}6~\%\) .

    b. Peut-on écrire \(2\times 0{,}8~\%\simeq 1{,}6~\%\) ?

Partie B   Approximation de \((1+T)^2\)

1. Développer `(1+x)^2-(1+2x)` .

2. Compléter le tableau suivant.

\(\begin{array}{|c|c|} \hline T&(1+T)^2&1+2T&~~~T^2~~~ \\ \hline 0{,}000\,1&...&... &...\\ \hline 0{,}01&...&...& ...\\ \hline 0{,}03&...&... &...\\ \hline 0{,}04&...&... &...\\ \hline 1&...&... &...\\\hline ...&...&... &...\\ \hline \end{array}\)

3. Que permet de calculer la dernière colonne de ce tableau ?

4. Une quantité subit deux augmentations successives de \(3~\%\) . Calculer mentalement une valeur approchée de l'augmentation globale.

Point info

Il est possible de montrer que si  \(T\) est proche de zéro, alors pour tout entier naturel \(n\)  non nul :

\((1+T)^n\simeq 1+nT\) ; \((1-T)^n\simeq 1-nT\)  ;

\((1+T)^{\frac{1}{n}}\simeq 1+\frac{1}{n}T\)  ; \((1-T)^{\frac{1}{n}}\simeq 1-\frac{1}{n}T\) .